1. 数学定义的双重性是什么

数量关系部分主要有两种题型：数字推理和数字运算。其中数字推理题型在前几年的中央、国家公务员录用考试中一直存在，2004年取消，但在2005年国家公务员录用考试行政职业能力测验中又恢复了该题型，广大考生在复习时应多加注意。　　数字推理又含有大致八种类型：等差数列及其变式；两项之和等于第三项；等比数列及其变式；平方型及其变式；立方型及其变式；双重数列；混合型数列；一些特殊的排列规律。对这几种题型解答的大体解法笔者总结如下：　　1. 观察法。这种方法对数字推理的所有题型(较简单的，基础性的)均适用。观察法对考生的要求比较高，考生要对数字特别敏感，这样才能一眼看出题目所属的类型。这种对数字的敏感需要考生在平时的训练中多培养，别人是代替不了的。　2. 假设法。在做题之前要快速扫描题目中所给出数列的各项，并仔细观察、分析各项之间的关系，然后大胆提出假设，从局部突破(一般是前三项)来寻找数列各项之间的规律。在假设时，可能一次假设并不能找到规律，这就要求考生有较好的心理素质，并迅速改变思路进行第二次假设。　 3. 心算要多于笔算。笔算因为要在纸面上进行，从而会浪费很多时间。　 4. 空缺项突破法。大体来说，如果空缺项在最后，要从前往后推导规律。如果空缺项在最前面，则相反。如果空缺项在中间，就需要看两边项数的多少来定，一般从项数多的一端来推导，然后延伸到项数少的一端来验证。　　5. 先易后难法。考生或许都能意识到这一点。在做简单题时，考生有时突然就有了难题的思路。同时这种方法还能激发考生临场发挥的潜力。　　2数学运算所包含的题型更多，如比例分配问题；和、倍、差问题；混合溶液问题；植树问题；预算问题等十余种。对这十余种题型解答的大体解法笔者亦总结如下：　　1. 凑整法。这种方法是简便运算中最常用的方法。主要是利用交换率和结合律，把数字凑成整数，再进行计算，就简便多了。　　2. 基准数法。当遇到两个以上的数字相加时，可以找一个中间数作为基准，然后再加上或减去每个加数与基准数的差，从而求得它们之和。　　3. 查找隐含规律法。考生需记住，国家公务员录用考试中的题目，几乎每一道数学运算题都有巧妙的解法，这些解法就是隐含的规律。找到这些规律，便会达到事半功倍的效果。　　4. 归纳总结，举一反三法。考生在做模拟题时要充分做到归纳总结。这样才能在考场上做到举一反三，增强必胜的信心。　　5. 常用技巧掌握法。掌握常用的解题技巧，如排除法、比较法等等。熟练掌握这些客观题解题技巧会帮助考生快速、准确地选出正确的答案，从而提高答题的效率。　　只要考生能够熟练掌握以上各种技巧，相信会对考生有大的帮助，使考生的成绩有一个突飞猛进的提高。

2. 数学概念的二重性是指一方面它表现为

资本主义生产具有二重性,一方面它是物质资料的生产过程,另一方面它是生产剩余价值的过程,

波粒二象性是物质通性.波动性不是指粒子在振动,而是概率在振动,即概率波.粒子性的意思和平常理解的粒子一样.理论上可以重组的.但是很难!从量子上完全可能.因为你想,比如让你的电脑显示器发出的这些光最后原模原样打在一个光屏上,光强还不能衰减,你说难吗?听说有实现的,但还是在微观粒子这个量级上实现的.

3. 双重定义又被称之为什么

定义

双重否定就是否定两次,即表示肯定的意思。

示例

例如:“他不是不来”意思是他要来的。包括有双重否定的句子就是双重否定句。比如:

我不得不承认那个是我的东西.

“不得不”就是双重否定

这句话的原意为：我承认那个是我的东西。

4. 数学语言的双重意义

当婴儿从母体中呱呱坠地之后，他们便通过语言和非语言的交际活动，不断接受人类千百年来积累的经验，逐渐获得大量关于他们周围世界的知识，发展智力，习得社会道德行为规范。同时，儿童通过语言理解他人的思想、情感，利用语言表达自己的感受、见解、愿望，倾诉自己的感情，参与社会交往活动，指导和评价自己的行为。总之，语言的发展与认知、个性和社会性等方面发展有着密切的关联。 　　 一、幼儿语言发展与认知发展 　　幼儿语言发展与认知发展相互促进、共同发展。一方面，幼儿的认知发展水平决定语言发展水平。当幼儿处在前运算阶段，幼儿只能掌握情境性很强的语言，处在具体运算阶段时，才有可能掌握连贯性语言。抽象的词和语法的掌握有赖于认知的发展。另一方面，作为一种心理表征符号，语言一旦被个体所理解和掌握，就能够对认知的发展起推动和加速作用，主要表现为增加认知的速度、广度和强度，使认知过程具有极大的机动性和普遍性。没有这种工具，个体的认知始终会停留在个人心理层面。正如皮亚杰所说，“语言具有双重意义：它既是一种凝缩的符号，又是一种社会的调节。语言在这种双重意义中便成为思维精密发展不可缺乏的因素。” 　　1．加深和巩固幼儿初步形成的概念 　　概念是人脑对客观事物一般特征和本质特征的反映，是以词为标志在概括的基础上形成的，受概括水平的限制。心理学研究表明：学前儿童思维的主要特点是动作性和具体形象性，但也有进行初步抽象概括的可能，他们的思维主要依赖自身的动作、事物的具体形象或表象以及它们的彼此联系来进行，并不主要凭借概念、判断和推理来进行。幼儿只能获得初级概念，维果茨基称之为自发概念。幼儿在运用自发概念（观念变动、观念联想、观念概括等）时，并未意识到这些概念、思维活动的本身，他们注意的是这些概念、思维活动所指的对象──经验的各种实物及其表象以及概念的替代物──语言。认知中的语义编码（概念）是语言与认知之间联系的桥梁。语言作为思维的工具，在概念的形成、同化、巩固以及思维的发展过程中起重要作用。 婴幼儿在掌握语言之前，要认识一物的特征时，需要对该物的各部分、各个特征逐一进行感知，而且，这些特征都是直观的、外在的，无法概括其特征。但随着语言的发展，幼儿对事物的认识开始从特定的、形象的特征转向一般的、概括的特征，概括的内容也逐渐丰富。语言的发展对概念的形成和发展的作用主要表现在以下几个方面。 　　 （1）借助词来命名，即用词表示事物的名称、形态、习性等。有了这些词的命名，幼儿对有关事物及其属性的感知才能从具体的形象趋向概括，形成和巩固其概念。例如：最初幼儿对“猫”的认识是指自己家里的小花猫或他看到的某一具体的猫，在多次听到别人提到猫或与别人多次谈论猫之后，“猫”的一般形象特征才在头脑中形成。 　　 （2）借助语言发现事物之间的异同点，即通过语言描述、比较，发现认识对象的不同点和相同点。婴幼儿经验贫乏，直觉的精确性差，在认识类似事物时，常常发生混淆。例如：幼儿大都分不清狼和狗的外形特征，在成人的指导下，幼儿通过观察、比较，找出其不同点，并用语言表述出来：“狼的嘴较大，腿较细，尾巴长，是向下拖的；狗的嘴比较小，腿较粗，尾巴短，是向上卷的。”这样，有关“狼”和“狗”的认识就有了反复的内容，更加接近概念本身。幼儿对“鸡”和“鸭”相同点的理解和把握过程也有语言的参与。 　　 （3）借助语言获得新的概念。语言的产生和发展，使幼儿不仅可以直接认识事物，而且还能够间接地、概括地认识事物。例如：在语言的作用下，幼儿晚期开始理解“动物”“植物”“家具”等类概念，将“猫、狗、鸡、鸭、老虎、熊、牛”等归为动物，开始对“勇敢”“喜欢”“分享”等抽象的概念有了一定的认识。 　　2．指导并参与认知加工过程 　　幼儿言语的发展给其思维发展提供了直接的前提。在幼儿从直接的动作思维向概括思维发展的过程中，语言起到了重要的作用。一方面，语言在幼儿进行直观动作、表象思维的过程中起到了指导的作用，使感知和表象具有一定的目的性和方向性另一方面，语言直接参与幼儿有意注意、有意记忆以及初步的分析、综合、判断、推理等抽象思维的过程。幼儿的认识对象不只涉及当前直接感知的事物，而且涉及一些不能直接感知的事物，使他们可以脱离现实而进行初步的逻辑思维。 （1）言语的产生和发展丰富了幼儿认知的范围。言语产生之前，儿童只能以有限的遗传本能和个体的直接经验为基础认识现实，认识的范围受到了限制。言语产生之后，儿童可以通过与他人交际，了解那些自己直接经验之外的事物。他们不仅可以通过直接观察、感知获得直接的经验，而且还可以通过理解他人言语和想象获得对自己没有直接感知的事物或经历的事件的认识。这样，幼儿的认识对象范围更加广泛，内容更加丰富和深刻。 　　 （2）言语的概括和调节作用使幼儿的认知加工逐步具有随意性和自觉性。在能够理解和使用语言之前，幼儿不能在直观感知和动作之外进行思考，更不能考虑自己的动作，计划自己的动作，预见动作的结果，但在掌握言语初期，幼儿常常可以按照成人发出的指令主动调节观察、感知、记忆、归类等内外行动，后来开始“边说边做”和“有声思考”，最后过渡到只通过内部语言指导和调节自己的行动。例如：2岁儿童骑在竹竿上面的时候，就想起了骑马的活动，等竹竿丢掉了，骑马的事也就忘掉了。 　　 （3）语言的指代意义和中介作用使幼儿逐步丰富了间接经验，语言直接参与促进了理解、判断和推理能力的形成和发展。例如：只有能够理解和说出一定数量的词和句子，才能听懂和简单编构童话故事，才能理解故事情节，想象故事展示的画面。再例如：幼儿吃过苹果之后，可能形成有关苹果的一些表面的联系，以后遇到苹果就能叫出它的名称，说出它的形状和颜色，了解它的功用（理解），知道它是否好吃（评价）、能不能吃、是不是香蕉（判断），逐渐获得有关苹果的丰富的、深刻的知识和经验。在这一系列思维的过程中，语言始终参与。 　　3．促进创造性思维的发展 　　创造性思维是指根据一定的目的，运用已有信息，产生某种新颖、独特、有社会或个人价值的产品的过程。儿童的创造性思维主要借助想象来进行的。语言的发展为幼儿的创造性思维的萌发和发展起到了推动的作用。 （1）幼儿的语言发展直接导致某些自造概念的出现。例如：幼儿园请一位姓翟的专业老师来指导幼儿活动，小班幼儿会自发地将这位年龄较大的老师称为“外婆老师”，“翟老师”的称谓对这个班的幼儿来说是不熟悉的和难以记忆的，相比而言，老师与外婆相近的形象却是幼儿熟悉的，于是“外婆老师”就应运而生了。这是幼儿期语言引发创造的比较普遍的现象。 　　 （2）幼儿语言发展使幼儿创造性地运用语言成为可能。幼儿经常会根据学到的句子、故事、诗歌的结构，结合自己的生活经验自发地或在老师的指导下进行造句、诗歌仿编和故事表演等，这些都是语言和创造性思维结合的结果。例如：学习了诗歌《摇篮》之后，有些幼儿会仿照诗歌的语言结构编出如下的诗句：“蓝天是摇篮／摇着月宝宝／白云轻轻飘／月宝宝睡着了。小河是摇篮／摇着虾宝宝／水草轻轻摇／虾宝宝睡着了。大地是摇篮／摇着草宝宝／风儿轻轻吹／草宝宝睡着了。妈妈的手是摇篮／摇着小宝宝／歌儿轻轻唱川、宝宝睡着了。” 　　 二、幼儿语言发展与个性发展 　　个性通常指个人具有的比较稳定的、有一定倾向性的心理特征的总和，包括气质、性格、

5. 数学定义的重要性

定义、定理、定律的区别为：意思不同、侧重点不同、出处不同。

一、意思不同

1、定义：对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明。

2、定理：在数学中通过 一定论据而证明为正确的结论。

3、定律：科学上对某种客观规律的概括。

二、侧重点不同

1、定义：定义是通过列出一个事物或者一个物件的基本属性来描写或者规范一个词或者一个概念的意义。被定义的事物或者物件叫做被定义项，其定义叫做定义项。

2、定理：定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。

3、定律：定律是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实归纳而成的结论。

三、出处不同

1、定义：梁启超 《中国学术思想变迁之大势》第三章第五节：“大抵西人之著述，必先就其主题立一界说，下一定义，然后循定义。”

白话译文：大多数西方人的著作说道，首先就其主题建立一个定义说，下一个定义，然后遵循定义。

2、定理：毛泽东 《在延安文艺座谈会上的讲话·结论》：“我们讨论问题，应当从实际出发，不是从定理出发。”

3、定律：《后汉书·鲁恭传》：“ 孝章皇帝深惟古人之道，定律著令，顺物性命，以致时雍。”

白话译文：孝章皇帝深知古人的道理，制定律令，顺应事物的本性，以达到和平。

6. 数学概念的二重性

数字“一”

“一”为数之始，这就奠定了它重要文化地位的数学基础。开始自然是重要的，在汉文化中，“一”由数之始进而被看成万物之始，这在道家哲学和宗教中表现得尤其突出。老子认为“道生一，一生二，二生三，三生万物”，“一”成为抽象的“道”转化为具体的物质世界的起点。有时，“一”干脆成为“道”的代名词，并被冠以“太”字以突出其至尊的地位——“太一”（又称“泰一”）。在汉民族的神话、宗教系统中，“太一”（也作“太乙”）又成为诸神之最“天帝”的代名词。

“一”的重要性不止于此。“一”的数学性质本就是多样的，它的文化意义就更加多样。在整数范围内，唯有“一”不能再被分解（整除）。因而，它代表了单独的个体或单纯的性质，跟“单、独、纯”等成了同义词。单独的个体在艺术上有突出形象的聚焦作用，李煜名句“一江春水向东流”，如换成“大江春水向东流”，意境就稍为逊色。人名“张帆”的形象性，也不如“张一帆”鲜明。甚至群体形象也可以借“一”化为许多个个体形象，“一道道青山紧相连”就有如此效果。单纯的性质是许多中国人，特别是道士僧人所追求的美德，“一”被取入名字道号的例子很多，“一清道人”、“弘一法师”之类就反映了这种价值取向。

比起小数、分数来，“一”又是完整、整体的代表，“统一、整一、合一、一齐、一律”等词都用到了“一”的这层意义，杜牧《阿房宫赋》“六王毕，四海一”径用“一”作“统一”的同义动词。

此外，“一”是唯一的乘任何数、除任何数都仍得该数的数字，“一”的任何次方仍得“一”，因此“一”还带上不变的含义，“始终如一、一以贯之”等成语都用“一”强调恒久不变。

“一”在所有正整数中，毕竟又是最小的数字，因此很自然地又获得了“少”的含义，特别是跟其他数字相对时，如“一丁点儿、九牛一毛、千钧一发”，当然，若跟比“一”还小的分数“半”配合，强调“小”就更理想了，如“一鳞半爪、一知半解”之类。

“一”从数量小，又发展出时间极短的意义，并形成了副词性关联词的用法，古有“一触即发”一类，今天咱们还说“他俩一见面就吵架”。

以上意义都是从“一”的基数义发展出来的。作为序数，它就不是小、少，而是老大，排在最前面，“一流产品、一级教练、第一把手”，都是最高最好之意（除非前面还有“特级”、“高级”之类）。但是也有例外，工人的级别，就是从“一级”到“八级”由低到高升上去的。作为序数，“一”也有一批同义词：元（元月）、大（老大）、首（首位）、头（头等）。这些词大都有头脑之意，用它们代表“一”正显示了汉文化对序数“一″的看重。难怪咱们逢“一”的节日特别多，春节（年初一）、十月一日、七月一日、八月一日等。除了有一定的历史事件原因之外，选在一日也切合了汉人的文化心理。

数字“二”

“二”是偶数之始，在自然数列中，它是笫一个能被其他数整除的数，又是能整除所有偶数的唯一的一个数字。汉民族早在远古时期就发展出了朴素的一分为二的辩证哲学思想，这大大增加了“二”的文化重要性。这种辩证思想的代表是阴阳学说。古人认为，“太一生两仪，两仪生阴阳”；万事万物都有阴阳两个方面相对构成一个整体，天——地、男——女、昼——夜、峰——谷、日（太阳）——月（太阴）、盈——亏、盛——衰，等等。天地缺一无以生万物，男女缺一无以滋人类。在这一意义上，“二”才是完整的、完美的，而相比之下“一”便有孤单、不完善之意。

由此发展，“二”及其倍数，即一切偶数，都代表吉、喜庆，“一”及一切奇数，则与凶、不幸有关。难怪结婚送礼钱，数目定额逢双，办喜事人家发糖也要逢双，甚至发喜烟也要两支一发，而平时发烟总是一支一发的。1990年10月14日，正逢阴历8月26日，阴阳历月份日期巧逢四个双数，报载北京城里形成结婚高潮，可能还不止北京一地，都是图这四双会集的大吉大利之时。只有办丧事时，送礼钱要逢单，上菜数目也逢单，以示对不幸的哀悼。求双求对的价值观，又跟汉民族特重对称的审美观相互促进和强化，从而渗透到生活的许多方面。门前石狮要成对，门口灯笼要成双，小户人家没有这些，那门上一年一度的春联是非贴不可的。

我们的文学语言也极重成双成对，它并成为骈文、律诗的首要美学原则。即使在口头语言中，成对出现的单位也比比皆是，如大量的对称四字格（死去活来）、对称俗语（你一言他一语）、对称谚语等。在汉语中，除了“一”，只有“二”有不少同义近义词：“两（本指成对物）、对、双、偶、骈、俪”，这些词，都表达了一可分二，合二才成一的意思。“美丽”的“麗”是“俪（儷）”的古字，这充分说明了汉人以“俪”（成对）为美的观念。二龙戏珠、干将莫邪雌雄二剑等，都成为汉文化中恒久不衰的优美艺术形象。

“二”的重要性，不仅在于其本身及其倍数——偶数，而且在于对其他数字的作用。别的数字如果成双出现，便容易成为富有意义的数字。看一下中国的传统民间节目：正月一（春节）、三月三、五月五（端午）、六月六（某些地区的动物节）、七月七（乞巧）、九月九（重阳），十二个月中，竟有六个月月日同数的节日，数字在其中的作用是不能低估的。

当然，比起“一”是不可分的单独整体来，“二”是个可分的数字。所以“一”是稳固、不变，“二”就有分离、变异之意，试比较：“一心、一心一意”和“二心、三心二意”。在两派冲突中，“两面派”往往不受欢迎，一旦暴露，难免成为“风箱里的老鼠——两头受气”。

“二”跟“一”虽然只相差一，但作为序数，地位却远不如“一”。“一流”、“一等”都有赞美之意，“二流子”、“二等公民“却是十足的贬义词。

数字“三”

三”是多之始。在自然数列中，“三”是第一个与“一”相隔的数，就这一点，使“三”成了多的代表。老子的“道”，生到“三”便生万物了。“三”的文化意义没有“一”“二”复杂，基本上都跟多有关。先秦汉语中，“三”字用得特别多，其中许多并不表示确数“三”，而是泛指多。如《论语》“三思而后行”，《左传》“三折肱，知为良医”，《诗经》“不稼不穑，胡取禾三百廛兮”，“三”都可以用“多、几、数”来翻译。训诂学家们早就注意到这一点，清人汪中撰《释“三”“九”》，专门分析了“三”表多的现象。

“三”没有“一”“二”那种浓郁的哲学、宗教气息，但却有强大的世俗、民间文化的活力，是个很得中国人宠爱的数字。汉民族在创造文化符号时，特别爱把三样相关事物凑合在一起，以显示其多，满足多样化统一的审美需要。松、竹、梅称为“岁寒三友”，书、画、印俱佳即成“三绝”。至于“三鲜汤”“炒三样”，超出三种菜料是常事，不到三种有时也冒称“三鲜”。小说家是最懂得“三”的魅力的，《三国演义》有桃园三结义、三请诸葛亮、三气周瑜，《水浒》有三打祝家庄，《西游记》有三打白骨精，《红楼梦》有刘姥姥三进大观园，都是最为脍炙人口的故事。

“三”跟其他数字的配合也很有趣，“三”是多之始，若与小于“三”的“二”配合，那表示的不是多而是少，如“三三两两”“三言两语”；若跟大于“三”的数字配合，则强调多，如“三令五申”“三姑六婆”。但“三”跟“四”配合，却是贬义多于数量义，如“丢三拉四、推三阻四、低三下四、不三不四”，这可能是奇偶相连、“不三不四”引起的不协调感。“七……八”相连也有这种效果，详下。

“三”作为序数，那肯定是贬多于褒了。“三流歌手、三流作家、下三流”，都带有鄙薄之意。但序数“三”用于时间，却没有贬义，还可能是个重要日子。人出生后的第一个纪念日，就是“三朝”，有的地区还隆重请吃“三朝面”，以庆祝婴儿已平安度过很“多”日子。

“三”为多的文化观念，远起于汉民族形成之初，这有汉字为证。汉字造字时，就是用三个相同字形来合成该事物多之意的，如“众、森、品、垚（尧）、晶、磊”。这种“三”字文化历经数千年，依旧不衰。

数字“四”

“四”是全之始。汉语数字中，表示“全部、所有”含义的数字有好几个，“四”是其中最小的数字，也是最基本的一个。从空间看，以人为基点。方向有前后左右四个，相对于太阳的位置，则方向为东南西北四个。从时间看，汉民族把一年分为春夏秋冬四季。这就大大加强了“四”代表“全”的地位。还有一些小因素，如人有四肢、汉语调有四声等，也有帮助增强“四”给人的“全”之感。

“四”表全部，有许多是直接从四个方位和四季而来，贴近本义，如“四方、四季、四时、”，但运用时其实已不强调分开的四者，而是看作包含全部的一个整体，如“四方宾朋，四海之内皆兄弟，香飘四季”。“四季”完全是“全年”的代名词。还有一些用“四”的，已进一步引申虚化，只表全部，不能确切地分成四分，如“四邻”是所有邻居或邻国，“四国”古代也可指所有邻国，“四座皆惊”即“满座皆惊”，“烽烟四起”即到处闹兵。

汉文化中，把四样事物凑在一起的也跟三物并举的一样很多，但比较起来，举“四”言全，举“三”言多，区别还是明显的。如古书分经史子集“四部”，清代又整理为“四库全书”。古代把治国之纲结为“仁义廉耻”——“四维”，孟子则把道德观念归结为“仁义礼智”——“四端”，并与人的四肢作比说“人之有是四端也，犹其有四体也”。

印度文化也重视“四”，认为世界有四大物质“风火水土”，佛教有“四大皆空”“四大金刚”，后两者也融合到中国文化中了。此外中国人在列举有代表性的人或物时，也特别爱“四”，如战国时信陵、平原、孟尝、春申四君子，古代四大美女，初唐诗坛四杰，京剧四大名旦，江南四大米市等。这些虽然是实在的“四”，但毕竟有以“四”概“全”之意。

可是，“四”在汉语中与“死”音近，仅有去声与上声之别，这给“四”蒙上了一层色彩。在有些行当，“四”字的读音便成了禁忌的对象。影响所及，连“四”读sì，“死”读“洗”二字不同音的沪苏一带，“四”也是禁忌，面馆中遇到要喊“四碗”，便一声“两两碗”避开了“四”。有趣的是，“四”、“死”二字被借入日语，而日语没有声调，二者完全同音，讲迷信的日本人，忌“四”竟比中国人还厉害。汉字文化圈把“四”的忌讳也带出中国了。

“一”为数之始、“二”为偶数之始，“三”为多之始、“四”为全之始，这四个数字，大概就构成了汉语基本数字中最基本的数字。汉字用横线数目构成表数指事实，也到“四”为止：一、二、三、亖（后改作“四”）。“五”以上，便用其他方式构字了。

数字“五”

“五”是“十”的一半。汉民族早就采用十进位计数，“十”是第一个进位之数，是数字第一轮循环的结束和第二轮循环的开始，又是汉字系统中用单个汉字表达的连续数字中最大的数字（“百”、“千”等与“十”不相连续，“十一”起用两个数字表过），因而是个重要数字，“五”就因为是“十”的一半而获得一定的重要性。人们在庆祝某事物的周年纪念日时，除了逢十的周年（十、二十、三十……），就数逢五的周年（十五、二十五、三十五……）隆重。但是，“五”的文化意义并不到此为止。汉文化的阴阳学说，进一步发展为阴阳五行学说。“五行”的基本意义是，世界万事万物都由木、火、土、金、水五种基本要素构成。除太阳太阴（月亮）外，五颗最亮的星星（行星）成为五行在天上的代表，分别以五行之一的名称命名。《说文》就以五行来释“五”，“（即五），五行也，从二，阴阳在天地间交午也。”五行学说大大增强了“五”在汉文化中的重要性，成为另一个表“全”的数字。

五行学说不限于解释世界的基本要素，而且还将五行推广到其他方面。很多重要的自然现象和人文现象都被划分为五个基本范畴，并且与木、火、土、金、水相配。色彩有“五色”：青（木色）、赤（火色）、黄（土色）、白（金色）、黑（水色），音节有“五音”：宫商角徵羽，地域有四方加上中构成“五方”：东（主木，青龙）、南（主火，朱雀）、中（主土）、西（主金，白虎），北（主水，玄武）。甚至后世有些音韵学家在给声母分类时，也将唇舌齿牙喉“五音”分别与五行相配。每个朝代也都有所配的“行”与“色”，如黄帝土德黄色、炎帝火德赤色、秦水德黑色等。

“五”表达的“全”与“四”表达的“全”在文化意义上是有所区别的。“四”之“全”由四方、四季而来，是确实包含全体之“全”，“五”之“全”由五行而来，是用五种基本要素概括全体之“全”。如颜色细分有数十数百种，而以五色概括。类似的情况有许多，如“五谷”（具体内涵说法不一）指一切粮食作物乃至一切农作物，“五味”（甜、酸、苦、辣、咸）指一切味道，“五虫”（裸虫、毛虫、羽虫、鳞虫、甲虫）指一切动物，“五刃”（刀、剑、矛、戟、矢）指一切兵器，“五金”（金、银、铜、铁、锡）指一切金属。

“五”跟其他数字配合，也能帮助我们看出“五”的文化意义。跟表示“多”的“三”配合，“五”也沾上“多”的意味，如“三令五申”、“三五成群”（比“三三两两”多）。跟表示“全”的“四”配合，两“全”一起更强调全部，如“五湖四海”（全国各地）、“四分五裂”（彻底分裂）。跟大于“五”的数字相配，表示多而全，但重在多，如“五颜六色、五花八门”。跟“十”相配，由于“十”本是全而多，重在全，因此“五”也帮助表达这一意义，如“五光十色”。

数字“六”

“六”用于文化意义似乎不如前五个数字常见，但它的文化意义却颇不简单。其实，“六”的数学性质首先就比较复杂。“六”是“二”和“三”的乘积，如果不考虑“一二得二”，那么，在自然数列中，“六”是第一个既为奇数的倍数,又为偶数的倍数的数字。它跟奇数和偶数同时有关可能为“六”在文化意义上的两重性奠定了基础。另外，阴阳学说关于数字的观点，又加重了“六”字文化意义的复杂性。

“六”本身是偶数，按民间信仰本该属吉数。在阴阳学说中，则奇数为阳，偶数为阴。虽然阴阳各有长短，但“六”被看作阴数之极(与阳数之极“九”相对)，不免显得“阴气”太重。于是，“六”在汉文化中便带上了吉与凶双重意义。

一方面，“六”常常跟“顺”联系在一起，称为“六顺”，打扑克发牌、打麻将开牌，遇“六”也称“六顺”，由庄家右手第一人开始。贵州省原来有个“六顺县”，也由这种观念而得名。两个“六”相遇，则更顺，称为“六六大顺”。

但是，汉文化中又有“六冲”之说，这成了迷信者所认定的阻碍婚姻的唯一年龄限制。意思是说，男女双方年龄若相差六岁，则他们的婚姻将是不吉利的，因而不能结婚。在这里，“六”又成为不顺之数了。阴历六月初六，两个“六”相逢之日，是许多地区的猫狗节或动物节，一说为猫狗生日。这天，应该给猫狗洗澡，人要吃馄饨。都与水有关，水正是柔性的、阴性的。

从空间看，平面上的方向有四个, “四方”成了所有方向的总称；但在三维空间中, “四方”加上天地两者便成了六个方面，汉语中称为“六合”。李白诗云“秦王扫六合，虎视何雄哉”。“六”也获得了泛指所有地方的文化意义，类似的还有“六极”、“六幽”等说法，但终究没有“四”常用。人死后所住的空间也是六面体——棺材，所以有些地方谑称死为“睡六块板”。

数字“七”

“七”的数学性质很奇特，在自然数列的前十名中，“七”是个最不合群的数字，因为它是唯一的既不能整除任何数，又不能被任何数(除“一”外)整除的数字，不做乘积、不做商，跟任何数都没有明显关系。这种性质，给“七”带上了独特、古怪、神秘甚至凶险的色彩。在汉语运用和汉文化生活中，“七”的用武之地不多，人们通常对它敬而远之。跟“七”联系最紧的生活内容是丧事,人死后每七天为一个悼亡祭灵的周期，称为“头七、二七……”，到七七四十九天结束，称为“断七”。送丧礼钱要取奇数，而“七”也是奇数，这倒是一致的，只是“七”是奇数中最为“凶”的数字。中国古代办丧事时，要给死人躺杉木板，板上凿七个孔，称“七星板”， “七”成了丧事的文化符号。

“七星”本为北斗之名，大概因为“七”的缘故，带上了凶险神秘之意，所谓“七星宝剑”也给人一股肃杀之气。古代神话中有一个凶神，名字就叫“七煞”。至今“七煞”还是吴地的骂人话。《西游记》中太白金星炼丹炉将齐天大圣炼了七七四十九天，也就是想炼死神猴，谁知这神秘之炉和神秘之数却炼就了悟空的铜头铁臂和火眼金晴。阴历“七月”在汉文化中是“鬼月”，整整一个月因“七”而带上“鬼气”，“七月半”则是明确的“鬼节”。

阴历七月七，两“七”相遇，也是汉民族的节日，称“乞巧”，那天，据说是牛郎织女鹊桥相会之日，是个带点喜气的日子，人间的姑娘媳妇们也借机向织女乞求传授织布巧技。不过，这喜气毕竟是带着悲剧色彩的，因为相会之后，就将是一整年孤独分离的日子在等着这对苦命夫妻。这个故事选七月七作为相会之日，确实不是偶然的。

“七”不管实用虚用，总容易带上贬义。“七窍”、“七孔”，其实意思也跟“五官”相近，可是，只用在“七窍生烟”、“七孔流血”之类不大恭敬的说法中，赞美一个人“五官端正”，是决不会说“七窍端正”的。“七”这个不合群的数字，能搭配的唯一数字是邻数“八”，这一奇一偶搭配的结果是让本无贬义的“八”也带上贬义，如“七零八落、七拼八凑、横七竖八、乱七八糟”。

数字“八”

“八”是“四”的两倍，又是“二”的立方（三次方），是第一个可开立方之数（“一”的任何次方都得一，不计）。“八”的文化意义也跟“四”一致。“四”表示全部，“八”也表示全部，只是更为强调。东南西北和四方，分得再细一点，加上东南、东北、西南、西北，便成为八方。“四方来宾”“四方支援”，也可以说“八方来宾”“八方支援”，意思基本相同，只是说“八”更带夸张语气。一年四季，春夏秋冬，古人又以立春立夏立秋立冬加上春分夏至秋分冬至合为“八节”，“八节”和“四季”一样都可以代指所有时间。

在更为虚化的用法中，“八”也可以看作是“四”的进一步强调，如“八面玲珑”，比“四面讨好”更加强调。至于“八宝饭”、“八宝鸭”、“八珍糕”之类，“八”更有全而多之意，在多的意义上，是“四”所不能代替的。

由于“四”“八”基本同义,因此这两个字常常配合使用，这比单用“四”或“八”更强调全部，如“四面八方、四通八达、四平八稳”。可是“八”跟“七”相配却有多而杂乱的贬义，这跟“四”“三”相配的贬义恰恰相映成趣（例子已见“三”“七″处，不再重复)。“三”“四”，“七”“八”都是相邻的奇偶两数，可见数字及数字搭配的文化意义确实跟它们的数学性质有关。

在另一方面,“八”的命运却比“四”好得多。“四”因为音近“死”而有时被忌讳，“八”却由于谐音“发”而受到中国人（主要是闽广人）的青睐。许多闽广人在生活中视“八”为神明，尤其是商人，更关心“八”（发）的好运。据报载，旅馆中带“8” 字号码的房间，总是被闽广人抢着订住，若有“888” 号，更是会四季常满，个别人甚至不带“8”的房间不住。海南省有一厂家，所产的电视机就叫“888”牌，“发发发”，让做着发财梦的人听来确实带劲，可是对“北佬”们的作用还不明显。不过随着南风北渐，北边也开始有厂商挖掘起“八”的潜力来，江苏盐城的“燕舞燕舞”厂，就推出了“燕舞888” 的新型产品。对“八”的崇拜也被出洋的闽广人带到海外。新加坡不久前建起一批中国古代名人塑像，选八人，据说也是为谐“发”，不过是这个共“发”解作“发财”大概不宜”，恐怕只能“发达”之意了。

“八”字字形简单却有一定的形象性。作为汉字，“八”也常被人移作他用。唇上髭须被形象地称为“八字须”，事情还没头绪叫“八字还没一撇”。人们对旧时官府的评价是“衙门八字开，有理无钱莫进来”。这句谚语中用得极妙的“八”字，是既不能意译，又不能音译，恐怕得“形译”才行。

数字“九”

“九”是“三”的三倍和平方，是最大的个位数，这是“九”字文化意义的数学基础。在阴阳学说中，“九”是阳数之极，这又加重了“九”的文化意味。“三”是表多之数，“九”是“三”的平方，“三”不足以言其多时，便可用“九”来强调。对此，清人汪中在《释三九》中已分析过了。按说，“十”比“九”大，但“十”已进位，在二位数中是最小的，所以中国人宁可用个位数中的最大者来强调多。

人们描写极高的天有九重，简称为“九霄”，上面住着“九天玄女”一类神仙。相对的，地下则有极深的“九泉”，人死之后，只能“九泉有知”。至于《左传》“三折肱，知为良医”，到《楚辞》中说成“九折臂而成医兮”，更说明“三”“九”都是言多之辞。山川河流称“九”的也很多，黄河流域众多支流古代总称为“九河”，与此相应，则有长江流域的“茫茫九派”。此外还有“九嶷山、九华山、九龙江”等等。

在有些情况下，人们是明显地故意取“九”舍“十”的。在吴地，习惯上庆祝“某十大寿”是在虚岁逢九的年纪时举行的，如四十九岁时做“五十大寿”；六十九岁时做“七十大寿”，还名之为“做九不做十”。进位缺一的多位九数，在汉人看来更能显示多，更有表达力和形象性。“饭后百步走，活到九十九”，当然有押韵的缘故，可“黄河九十九道弯”，却纯粹为了强调和增强形象性。电影《红高粱》的歌词作者深通此道，“九千九百九”一句，广为流行。

阴阳家定“九”为阳极之数，这也进一步提高了“九”的地位。阴历九月初九，并没有什么要纪念的事物，只因为两个阳数相遇，就成为一个颇大的节日，称为“重阳”，地位比两阴相遇的“六月六”高。重阳是人的节日，要登高，体现“阳”意，“六月六”是动物的节日，要下水，体现“阴”意。

“九”的文化意义不仅体现于个位数“九”的本身，而且还影响到带“九”的多位数（如“九千九百九”）和“九”的倍数，形成了一个阵容庞大的“九文化”家族，这在数字中是最突出的。许多“九”的倍数都有与“九”有关的文化功能，人们乐意用它们作文化符号。

“九”的两倍“十八”，也强调多，地下除了“九泉”，还有更糟糕的“十八层地狱”。武士们最喜欢自夸的是精通“十八般武艺”。

“九”的四倍是“三十六”，又是一个表多的数字，“三十六计”、“三十六行”可为例证。“三十六行”的十倍“三百六十行”，也还指多。

《水浒》里则有“三十六天罡星”，还有“七十二地煞星”-—“九”的八倍，加起来是“一百单八将”——“九”的十二倍。《水浒》用这些“九家族”成员，当然不光是指多，而且也给这些“替天行道”的好汉增加神秘色彩——“天意”、“阳气”之类，一百零八将的头儿宋江，就是靠了“九天玄女”亲授的“天书”来带领这支队伍的。《西游记》里唐僧师徒到西天取经，要历经九九八十一难，这是大神们有意设下考验他们的，当然在“多”之外有更多的神圣意味了。孙悟空有“七十二变”，也是“九”的八倍，但比起体现佛法的“八十一难”来，毕竟又差一筹。两位数字有九十个之多，恰恰这些“九”的倍数有如此重要的作用，这决不是偶然的。

“九″跟其他数字配合，主要也表示多。跟“一”相配构成多少对比，如“九死一生”“九牛一毛”。“九”和“三”“六”是汉语中表多的数字系列，“三”和“六”相配前已举例，“三”和“九”相配如“三跪九叩”。“三跪九叩”虽有实义，但作为礼仪，它是人为规定的，可知规定者是有意取其象征意义的。“六”和“九”相配没找到，可见在表多数字中，“三”还是最基本的。

数字“十”

“十”是第一个进到两位的数字，比前面九个数字高了一个层次，又是连续的自然数列中数目最大的单个汉字。“十”带有对前面的数字总结归纳之意。在汉语中，“十”的基本文化意义是“多而全”。就多而言，它跟“三、六、九”这个表多系列相关；就全而言，它又跟“四、五、八”及一定程度上的“二”这个表全系列相关。所以有总结之意。同时，“十”跟这两个系列又都有一些差别。

7. 如何理解数学的两重性

　　电的概述：自然界的闪电是电的一种现象电是一种自然现象，是一种能量。电是像电子和质子这样的亚原子粒子之间的产生排斥力和吸引力的一种属性。它是自然界四种基本相互作用之一。电或电荷有两种：我们把一种叫做正电、另一种叫做负电。通过实验我们发现带电物体同性相斥、异性相吸，其吸引力或排斥力遵从库仑定律。电是个一般术语，包括了许多种由于电荷的存在或移动而产生的现象。这其中有许多很容易观察到的现象，像闪电、静电等等，还有一些比较生疏的概念，像电磁场、电磁感应等等。　　在中国，古人认为电的现象是阴气与阳气相激而生成的，《说文解字》有 “电，阴阳激耀也，从雨从申”。《字汇》有“雷从回，电从申。阴阳以回薄而成雷，以申泄而为电”。在古籍《论衡》一书中曾有关于静电的记载，当琥珀或玳瑁经摩擦后,便能吸引轻小物体，也记述了以丝绸摩擦起电的现象，但古代中国对于电并没有太多了解。　　西元前600年左右，希腊的哲学家泰利斯就知道琥珀的摩擦会吸引绒毛或木屑，这种现象称为静电。而英文中的电在古希腊文的意思就是“琥珀”。　　18世纪时西方开始探索电的种种现象。美国的科学家富兰克林认为电是一种没有重量的流体，存在于所有物体中。当物体得到比正常份量多的电就称为带正电；若少于正常份量，就被称为带负电，所谓“放电”就是正电流向负电的过程（人为规定的），这个理论并不完全正确，但是正电、负电两种名称则被保留下来。此时期有关“电”的观念是物质上的主张。　　富兰克林做了多次实验，并首次提出了电流的概念，1752年，他在一个风筝实验中，将系上钥匙的风筝用金属线放到云层中，被雨淋湿的金属线将空中的闪电引到手指与钥匙之间，证明了空中的闪电与地面上的电是同一回事。　　而人类一直以自然界中存在的粒子与波来描述“电”的世界。到了19世纪，量子学说的出现，使得原本构筑的粒子世界又重新受到考验。海森堡所提出的“测不准原理”认为一个粒子的移动速度和位置不能被同时测得；电子不再是可数的颗粒；也不是绕著固定的轨道运行。　　一九二三年，蒙娜丽莎提出当微小粒子运动时，同时具有粒子性和波动性，称为“质—波二重性”，而薛定谔用数学的方法，以函数来描述电子的行为，并且用波动力学模型得到电子在空间存在的机率分布，根据海森堡测不准原理，我们无法准确地测到它的位置，但可以测得在原子核外每一点电子出现的机率。在波耳的氢原子模型中，原子在基态时的电子运动半径，就是在波动力学模型里，电子最大出现机率的位置。　　随著科学的演进，人类逐渐理解“电”的物理量所能取得的数值是不连续的，它们所反映的规律是属于统计性的。　　电的发现和应用极大的节省了人类的体力劳动和脑力劳动，使人类的力量长上了翅膀，使人类的信息触角不断延伸。

8. 数学具有什么和什么双重属性

“9522总课时”是指中国中小学教育阶段的学生在13年的学业期间，根据国家规定要接受的总课时数。其中，“9”表示小学阶段，共计6年，根据国家规定，小学生应该接受9,000个学时的课程；“5”表示初中阶段，共计3年，根据国家规定，初中生应该接受5,400个学时的课程；“2”表示高中阶段，共计3年，根据国家规定，高中生应该接受2,160个学时的课程。这些课时包括了语文、数学、外语、科学等各个学科的教学内容。总课时是国家对学生学习时间和教育质量的一个要求，也是学生完成学业的必要条件之一。

9. 数学定义的双重性是什么意思

生长素对植物的生理作用往往具有双重性，具体表现在既能促进植物生长，也能抑制生长；植物不同的器官对生长素最适浓度的要求是不同的。

根的最适浓度约为10-10mol／l，芽的最适浓度约为10-8mol／l，茎的最浓度约为10-5mol／l。在生产上常常用生长素的类似物(如萘乙酸、2，4-d等)来调节植物的生长如生产豆芽菜时就是用适宜茎生长的浓度来处理豆芽，结果根和芽都受到抑制，而下胚轴发育成的茎很发达。