1. 连通关系的等价类

集合或类(以集合为例)上的等价关系R指一个具有自反, 对称, 传递性的二元关系, 在一个定义了等价关系的集合中可以按该等价关系分成等价类(即两个元素只要有xRy, 则它们属于同一等价类), 即集合的一些子集组成的集, 容易证明这些子集两两不交且其并等于原集合. 一个应用: 在全体集合的真类V上定义一等价关系R, 若两个集合x, y间存在一一映射, 则xRy. 按该等价关系分成等价类, 再用类上的选择公理从每个等价类中取出一个代表元素. 即基于AC的集合的势的定义.

2. 连通的等价定义

连续性是数学分析里面最基础的概念，很多人对于连续性的理解是这样的

.

这个理解没有错，但是连续性有其他5-6种等价定义。考虑连续函数 , 这里你不妨认为 .

2. 对于任意 和 ，存在 使得

3. 对于任意开集 , 依然是开集。

4. 对于任意闭集 , 依然是闭集。

5. 对于任意集合 , ,

6. 对于任意集合 成立。

7。还可以用滤子刻画，这个对于初学者不友好，我就不提了。

这几个才是连续性的基本「结论」，

1 连续函数把紧集映成紧集（所谓连续函数的有界和有最值本质是都是从这个来的）

2 连续函数把连通集映成连通集（连续函数的介值性是从这个性质来的）

这两条的重要性在于，它们反过来可以刻画连续性，也就说

如果一个函数满足

把紧集映成紧集并且把连通集映成连通集，那么这个函数就是连续的

在遇到一个问题后，如果里面提到连续性的时候，你利用它要多从不同的定义出发去理解，这些定义是有确实用处的。你得明白一个道理「定义本身就是最大的工具」，所谓的结论只是它们的衍生品。

下面本人的live就是关于连续函数和度量空间的live，这里这些东西会在那里详细讲解，有兴趣的同学可以查看

从度量空间看连续函数

3. 全关系一定是等价关系吗

类比推理题目的特点是题型短，字数少，类比推理的解题技巧在于寻找各词语之间的关系，其中有一种关系更偏向于常识类的积累，那就是全同关系，全同关系是指两个概念完全等价，外延完全重合，是同一关系。随着中国文化的不断发展，古代对于很多事物的称谓经过时间的推移，在当今社会出现了一定的变化，很多外国语言不断被音译为汉语，出现了很多音译型词语，地域文化的不同也使得不同地区对同一事物的说法有所差异，在书面与口语中同一事物的说法也存在着很多不同的说法。与全同关系相类似的，涉及对于常识类知识点考察的，还有象征义的考察，即通过某一特定的具体形象来表现某种概念、思想和感情的象征意义词语。这些词语逐渐出现在类比推理的题型中，现总结如下：　　全同关系：古今类　　蹴鞠=踢足球　　寺庙=伽蓝　　芙蕖=菡萏=荷花　　全同关系：中外类　　伊妹儿(email)=电子邮件　　引擎(engine)=发动机　　麦克风(microphone)=话筒　　摩登(modern)=时髦　　荷尔蒙(hormone)=激素　　卡通(cartoon)=动漫　　马赛克(masaic)=锦砖　　拍档(partner)=搭档　　雷达(radar)=千里眼　　苏打(soda)=纯碱　　维他命(vitamin)=维生素　　罗曼蒂克(romantic)=浪漫　　全同关系：雅俗类　　解雇=炒鱿鱼　　结账=买单　　莞尔=微笑　　吝啬=小气　　恐吓=吓唬　　食盐=盐巴　　耄耋之年=七老八十　　伉俪=夫妻　　八角=大料　　蟋蟀=蛐蛐　　银杏=公孙树　　红苕=甘薯　　红豆=相思子　　桂冠=冠军　　全同关系：自他类　　用来形容自己有关的谦称主要有家、舍，用来形容与他人有关的的尊称主要有尊、贤、仁、贵、高、大)能组成同义的总结如下：　　家父=令尊　　家母=令堂　　家兄/弟=令兄/弟　　令郎、嗣/媛、爱=小儿/小女　　寒舍、草堂、舍下=尊府、府上　　象征意义类　　橄榄枝、鸽子：和平　　桃李：学生　　松柏：长寿　　鸳鸯：爱情　　蜜蜂：勤劳无私　　鸿鹄：志向远大　　凤凰：吉祥　　布衣：平民　　白丁：文盲　　职业与三字惯用语

4. 连通关系的等价类有哪些

数量符号　　如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。 运算符号　　如加号（+），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或/），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），绝对值符号“| |”，微分（dx），积分（∫），闭合曲面（曲线）积分（∮）等。 关系符号　　如“=”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“>”是大于符号，“B 命题A 与B 等价关系 　　A=>B 命题 A与 B的蕴涵关系 　　A* 公式A 的对偶公式 　　wff 合式公式 　　iff 当且仅当 　　↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ） 　　↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ） 　　□ 模态词“必然” 　　◇ 模态词“可能” 　　φ 空集 　　∈ 属于 A∈B 则为A属于B（∉不属于） 　　P（A） 集合A的幂集 　　|A| 集合A的点数 　　R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合” 　　א 阿列夫 　　⊆ 包含 　　⊂（或下面加 ≠） 真包含 　　∪ 集合的并运算 　　∩ 集合的交运算 　　- （～） 集合的差运算 　　〡 限制 　　[X](右下角R) 集合关于关系R的等价类 　　A/ R 集合A上关于R的商集 　　[a] 元素a 产生的循环群 　　I (i大写) 环，理想 　　Z/(n) 模n的同余类集合 　　r(R) 关系 R的自反闭包 　　s(R) 关系 的对称闭包 　　CP 命题演绎的定理（CP 规则） 　　EG 存在推广规则（存在量词引入规则） 　　ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则） 　　UG 全称推广规则（全称量词引入规则） 　　US 全称特指规则（全称量词消去规则） 　　R 关系 　　r 相容关系 　　R○S 关系 与关系 的复合 　　domf 函数 的定义域（前域） 　　ranf 函数 的值域 　　f:X→Y f是X到Y的函数 　　GCD(x,y) x,y最大公约数 　　LCM(x,y) x,y最小公倍数 　　aH(Ha) H 关于a的左（右）陪集 　　Ker(f) 同态映射f的核（或称 f同态核） 　　[1，n] 1到n的整数集合 　　d(u,v) 点u与点v间的距离 　　d(v) 点v的度数 　　G=(V,E) 点集为V，边集为E的图 　　W(G) 图G的连通分支数 　　k(G) 图G的点连通度 　　△（G) 图G的最大点度 　　A(G) 图G的邻接矩阵 　　P(G) 图G的可达矩阵 　　M(G) 图G的关联矩阵 　　C 复数集 　　N 自然数集（包含0在内） 　　N* 正自然数集 　　P 素数集 　　Q 有理数集 　　R 实数集 　　Z 整数集 　　Set 集范畴 　　Top 拓扑空间范畴 　　Ab 交换群范畴 　　Grp 群范畴 　　Mon 单元半群范畴 　　Ring 有单位元的（结合）环范畴 　　Rng 环范畴 　　CRng 交换环范畴 　　R-mod 环R的左模范畴 　　mod-R 环R的右模范畴 　　Field 域范畴 　　Poset 偏序集范畴

5. 等价关系和划分的联系

等价类测试方法是把所有可能的输入数据，即程序的输入域划分成若干部分，然后从每一部分中选取少数有代表性的数据作为测试用例。

使用等价类划分方法设计测试用例要经历划分等价类（列出等价类表）和选取测试用例两步。 这么做可以帮助清晰地梳理。。

6. 2-连通图的等价定义

柯西－古萨定理，是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。

另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。

7. 等价关系与相似关系的区别与联系

矩阵等价：PAQ=B；同型矩阵而言；一般与初等变换有关；秩是矩阵等价的不变量，两同型矩阵相似的本质是秩相似；矩阵相似：P-1AP=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是二者有相等的不变因子；可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；矩阵相似必等价，但等价不一定相似；矩阵合同：CTAC=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同；可通过二次型的非退化的线性替换来理解；矩阵合同必等价，但等价不一定合同。

8. 连通和道路连通 等价

这是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。

阿柯西定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。

9. 等价关系的并集还是等价关系吗

规定一种关系，（比如两个数之差能被3整除），两个元素满足这一关系的话这两个元素就等价，这种关系还得满足自反性，交换性，传递性，相互等价的元素形成一类（所谓的物以类聚），这些类就叫等价类。

设R为定义在集合A上的一个关系，若R是自反的，对称的，传递的，则R称为等价关系。例如平面上三角形集合中，三角形的相似关系是等价关系；上海市的居民的集合中，住在同一区的关系也是等价关系。

10. 全关系是等价关系吗

等价物是能与其他商品交换的商品，而一般等价物是能与其他一切商品相交换的商品。

“一般等价物”与“等价物”这两个概念最重要的区别也就在字面上.所谓一般也就是普遍适用.也就是说这种等价物可以适用于所有商品交换中,所以我们称其为一般等价物.

11. 等价连接与自然连接的区别和联系

连接是连在一起，自然连接是自动形成的连接